线性代数：从向量到方程组

示例笔记

这篇文章用于演示正文、LaTeX 公式、图片与代码的展示方式，并非你的真实课堂笔记。可以直接修改，也可以删除后换成自己的内容。

先从一个问题开始

已知两个向量 $\mathbf{u}=(2,1{)}^{\mathsf{T}}$ 和 $\mathbf{v}=(1,2{)}^{\mathsf{T}}$，怎样把它们组合成一个新向量？

我们可以先把每个向量缩放，再相加。这个操作叫作 线性组合（linear combination）：

$$\mathbf{b}=x_1\mathbf{u}+x_2\mathbf{v}.$$

当 $x_1=x_2=1$ 时，得到 $\mathbf{b}=(3,3{)}^{\mathsf{T}}$。

把向量排成矩阵

将 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 分别作为矩阵的两列，线性组合就可以写成矩阵乘法：

$$A\mathbf{x}=\mathbf{b},\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3\\ 3\end{array}\right].$$

符号	在这个例子中的含义
$A$	由已知向量组成的矩阵
$\mathbf{x}$	待求的组合系数
$\mathbf{b}$	希望得到的目标向量

一个好用的直觉

矩阵乘向量，可以理解为“按向量中的系数，对矩阵的列做线性组合”。

一步一步求解

展开为方程组，再做消元：

$$\begin{array}{rl}2x_1+x_2& =3,\\ x_1+2x_2& =3,\\ 3x_1& =3,\\ x_1=x_2& =1.\end{array}$$

这里 $det(A)=2\cdot 2-1\cdot 1=3\ne 0$，所以矩阵可逆，解唯一。

用代码检查

下面的 Python 片段不需要额外安装库，可以检查得到的解：

A = [[2, 1], [1, 2]]
x = [1, 1]
b = [sum(a * value for a, value in zip(row, x)) for row in A]
print(b)  # [3, 3]

推广到更多列

下面这条较长的公式展示矩阵乘法的一般形式。在窄屏上可以左右滚动查看：

$$A\mathbf{x}=\left[\begin{array}{cccc}|& |& & |\\ {\mathbf{a}}_1& {\mathbf{a}}_2& \cdots & {\mathbf{a}}_n\\ |& |& & |\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]=x_1{\mathbf{a}}_1+x_2{\mathbf{a}}_2+\cdots +x_n{\mathbf{a}}_n=\sum _{j=1}^n{x}_j{\mathbf{a}}_j=\mathbf{b}.$$

留给下一次的问题

• 如果两个列向量方向相同，会发生什么？
• 什么时候没有解，什么时候有无穷多个解？
• 行列式为什么与面积有关？

下一篇可以从这些问题继续写起。记录答案之前，也可以先记录自己的猜想。

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